Question

在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，E是AD的中点，F是PC的中点．
（1）求证：BE⊥平面PAD；
（2）求证：EF∥平面PAB；
（3）求直线EF与平面PBE所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知利用余弦定理可求BE，利用勾股定理可知BE⊥AE，由平面PAD⊥平面ABCD可证BE⊥平面PAD
（II）证明：由F是PC的中点考虑取PB的中点H，容易证四边形AHFE是平行四边形即EF∥AH，根据线面平行的判定定理可证
（III）由（I）知BC⊥BE，PE⊥BC，可得BC⊥平面PBE，又由（II）知HF∥BC，可得FH⊥平面PBE，则∠FEH是直线EF与平面PBE所成的角，，在Rt△PBE中可求

解答：证明：（I）E是AD中点，连接PE∴AB=2，AE=1
∴BE²=AB²+AE²-2AB•AE•cos∠BAD
=4+1-2×2×1×cos60°=3
∴AE²+BE²=1+3=4=AB²∴BE⊥AE
又平面PAD⊥平面ZBCD，交线AD
∴BE⊥平面PAD
（II）证明：取PB的中点H，连接FH，AH
AE=

1

2

BC  ，AE∥BC，又HF是△PBC的中位线
HF∥

1

2

BC，HF=

1

2

BC
∴AE∥HF，AE=HF
∴四边形AHFE是平行四边形
∴EF∥AH
又EF?平面PAB，AH?平面PAB
∴AH∥平面PAB
（III）由（I）知BC⊥BE，PE⊥BC
又PE'BE是平面PBE内两相交直线
∴BC⊥平面PBE，又由（II）知HF∥BC
∴FH⊥平面PBE
∴∠FEH是直线EF与平面PBE所成的角
易知BE=PE=

3

，在Rt△PBE中EH=

6

2

∴tan∠FEH=

6

3

∴cos∠FEH=

15

5

故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为

15

5

点评：本题主要考查了直线与平面平行及直线与平面垂直的判定定理的应用，体现了线面关系与面面关系的相互转化．