Question

【题目】设函数 f （x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）．
（1）若a=﹣3，求函数 f （x）的最小值；
（2）如果x∈R，f （x）≤2a+2|x﹣1|，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=﹣3时，f（x）=|x﹣1|+|x+3|，

∵f（x）=|x﹣1|+|x+3|=|1﹣x|+|x+3|≥|（1﹣x）+（x+3）|=4，

当且仅当（1﹣x）（x+3）≥0即﹣3≤x≤1时，“=”成立，

∴函数f（x）的最小值是4；

（2）解：x∈R，f（x）≤2a+2|x﹣1|，

可化为|x﹣a|﹣|x﹣1|≤2a，

又|x﹣a|﹣|x﹣1|≤|（x﹣a）﹣（x﹣1）|=|1﹣a|，

当且仅当x=1时“=”成立，

从而|1﹣a|≤2a，即﹣2a≤1﹣a≤2a，解得：a≥ ，

故a的范围是[ ，+∞）．

【解析】（1）根据绝对值的意义求出函数的最小值即可；（2）由|x﹣a|﹣|x﹣1|≤2a，转化为|1﹣a|≤2a，求出a的范围即可．
【考点精析】关于本题考查的绝对值不等式的解法，需要了解含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能得出正确答案．