Question

【题目】设椭圆，其长轴长是短轴长的倍，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）点是椭圆上横坐标大于的动点，点在轴上，圆内切于，试判断点在何位置时的长度最小，并证明你的判断．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点的横坐标为时，的长度最小.见解析.

【解析】

（1）根据条件列方程组，解得；

（2）先设，，根据点斜式得直线的方程，再根据直线与圆相切列等量关系得，类似可得，转化为是方程的两个根，利用韦达定理解得，根据点满足椭圆方程，代入化简得，最后根据范围以及函数单调性求最值，即得结果.

(1)由已知，

因为过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为，，

解得，故所求椭圆方程为.

(2)设，.

不妨设，则直线的方程为，即，

又圆心到直线的距离为，即，

化简得同理，，

是方程的两个根，

，则，

是椭圆上的点，∴，.

令，令，则，

，

当时，取到最小值，此时，即点的横坐标为时，的长度最小.