Question

【题目】如图，在四棱锥中， 分别是的中点，底面是边长为2的正方形， ，且平面平面．

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）.

【解析】试题分析：（1）要证平面因平面，只要证平面，也就是证明和，后者可以由为等边三角形得到，前者由平面得到（因为平面平面）.（2）要求锐二面角，因几何体比较规则，可以建立空间直角坐标系计算两个半平面的法向量的夹角.

解析：（1）由题， 为的中点，可得，∵平面平面， ，平面 平面， 平面， ∴平面.又∵平面，∴. ，∴平面.∴平面平面.

（2）取的中点， 的中点，连接，∵，∴.∵平面平面 平面，∴平面.分别以为轴建立空间直角坐标系，则， ，设平面 的法向量为，则.即.可取.同理，可得平面的法向量. .所以平面与平面所成锐二面角余弦值为.