Question

已知椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，有一个顶点为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线与椭圆交于两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）.

解析试题分析：（1）首先根据椭圆有一个顶点为，可知长轴，又，从而得：，可求出，即可求出椭圆方程.
（2）分直线的斜率存在与不存在分类讨论，（1）当直线与轴垂直时，点的坐标为，此时，；（2）当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立，消去，并整理得，利用和点差法即可求出结果.
解：（1）因为椭圆有一个顶点为，故长轴，又，从而得：，，∴椭圆的方程；(3分)
（2）依题意，直线过点且斜率不为零.
（1）当直线与轴垂直时，点的坐标为，此时，；   (4分)
（2）当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为,  (5分)
由方程组
 消去，并整理得，  
设,, 又有，则
∴   (7分)
∴ ，  ∴，
，       (9分)
 ，       .
且 ．          (11分)
综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是：．   (12分)
考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系.