Question

1．如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，H是△ABC的垂心，求证：PH⊥平面ABC．

2．在本题中，若PA⊥BC，PB⊥AC，试证PC⊥AB．

Answer 1

答案：
解析：

1．证明：∵H是△ABC的垂心， 　　∴AH⊥BC．① 　　∵PA⊥PB，PB⊥PC，PB∩PC＝C， 　　∴PA⊥平面PBC． 　　又∵BC平面PBC，PA⊥BC，② 　　由①②知，BC⊥PH，同理，AB⊥PH． 　　∴PH⊥平面ABC． 　　2．如图，作PH⊥平面ABC于点H． 　　∵PH⊥平面ABC， 　　∴BC⊥PH．又∵BC⊥PA， 　　∴BC⊥平面PAH． 　　∴BC⊥AH．同理可证AC⊥BH． 　　∴H是△ABC的垂心，则CH⊥AB． 　　又∵AB⊥PH， 　　∴AB⊥平面ACH． 　　∴PC⊥AB． 　　思路分析：根据判定定理，要证线面垂直，需证直线和平面内的两条直线垂直，根据H是△ABC的垂心，可知BC⊥AH，又PA、PB、PC两两垂直，得PA⊥面PBC，于是PA⊥BC，由此可知BC垂直于平面PAH内的相交直线PA和AH，结论得证．

提示：

根据所求证的结论，寻求所需的已知条件，看题目是否已经直接给出，或者从题目所给条件，经过推理能够得出，这是分析问题的重要方法，称为执果索因；也可从条件出发，将这一条件可能得出的结论一一列出，从中选出我们证题所需要的结论，这种分析问题的方法称为由因导果，发散性较强．