Question

已知{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列；若数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=b_n+2^a_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求证：b_n•b_n+2＜b_n+1²．

Answer 1

分析：（1）由题设条件知b_n+1-b_n=2ⁿ．由此能够求出数列{b_n}的通项公式．
（2）做差比较，由b_n•b_n+2-b_n+1²=（2ⁿ-1）•（2ⁿ⁺²-1）-（2ⁿ⁺¹-1）²=（2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1）-（2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+1）=-2ⁿ，与0比较可得答案．

解答：解：（1）由已知得a_n=n．从而b_n+1=b_n+2ⁿ，即b_n+1-b_n=2ⁿ．（2分）
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=2n-1+2n-2++2+1=

1-2n

1-2

=2n-1．（6分）
（2）因为b_n•b_n+2-b_n+1²=（2ⁿ-1）•（2ⁿ⁺²-1）-（2ⁿ⁺¹-1）²
=（2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1）-（2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+1）=-2ⁿ＜0，
∴b_n•b_n+2＜b_n+1²．（12分）

点评：本题考查数列的性质和不等式的解法，解题时要注意公式的灵活运用．