Question

（2012•临沂一模）在1和100之间插入个实数，使得这（n+2）个数构成递增的等比数列，将这（n+2）个数的积记作T_n，n∈N^*；
（1）求数列{T_n}的通项公式；
（2）设b_n=2lgT_n-3，求数列{

bn

2n

}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）根据在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，我们易得这n+2项的几何平均数为10，故T_n=10ⁿ⁺²，进而根据对数的运算性质我们易计算出数列{a_n}的通项公式；
（II））由b_n=2lgT_n-3=2n+1可得

bn

2n

=

2n+1

2n

，从而可利用错位相减求和即可

解答：解：（I）∵在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，设插入的这n个数分别为a₁，a₂，a₃，…a_n
由等比数列的性质可得a₁•a_n=a₂•a_n-1=…=1×100
∴T_n=10ⁿ⁺²
又∵a_n=lgT_n，
∴a_n=lg10ⁿ⁺²=n+2，n≥1．
（II）∵b_n=2lgT_n-3=2n+4-3=2n+1
∴S_n=

3

2

+

5

22

+…+

2n+1

2n

1

2

sn=

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

+

2n+1

2n+1

两式相减可得

1

2

sn=

3

2

+2(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

2n+1

2n+1

=

3

2

+2•

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n+1

2n+1

=

5

2

-

1

2n-1

-

2n+1

2n+1

Sn=5-

1

2n-2

-

2n+1

2n+1

点评：本题考查的知识点是等比数列的通项公式及错位相减求和方法的应用，其中根据已知利用等比数列的性质，是解答本题的关键．