Question

已知几何体A—BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（1）求此几何体的体积V的大小;
（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；
（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQBQ并说明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在点Q，使得AQBQ.

试题分析：（1）由三视图还原几何体为一个锥体，利用锥体体积公式求解；（2）法1：化空间角为平面角，在一个三角形内求值；法2：建立空间直角坐标系求解；（3）法1：假设存在，通过构造面面垂直来实现AQBQ；法2：建立空间直角坐标系，转化为两对应向量数量积为零，求出点Q的坐标.
试题解析：（1）由该几何体的三视图知面,且EC="BC=AC=4" ，BD=1，

∴
∴．
即该几何体的体积V为．                 3分
（2）解法1:过点B作BF//ED交EC于F，连结AF，
则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．    5分
在△BAF中，∵AB=，BF=AF=．
∴．
即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．                 7分
解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．
则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）

∴，∴ 
∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．
（3）解法1:在DE上存在点Q，使得AQBQ.                    8分
取BC中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，则点Q满足题设.
连结EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中
∵   ∴∽   
∵ ∴  
∴．                                              11分
∵,
∴
∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．切点为Q

∴
∵面,面 ∴ ∴面      13分
∵面ACQ
∴．                                               14分
解法2: 以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．
设满足题设的点Q存在,其坐标为（0，m，n），则
，
∵AQBQ   ∴              ①
∵点Q在ED上，∴存在使得
∴     ②
②代入①得，解得
∴满足题设的点Q存在，其坐标为．