Question

已知A、B、C的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα ）．
（Ⅰ）若|

AC

|=|

BC

|，求角α 的值；
（Ⅱ）若

AC

•

BC

=-1，求

2sin2α+sin2α

1+tanα

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据A、B、C的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα ），求出

AC

，

BC

的坐标，再利用|

AC

|=|

BC

|，就可求出角α 的三角函数值，再根据角α 的三角函数值，求角α 的值．
（Ⅱ）根据

AC

•

BC

=-1以及前面所求

AC

，

BC

的坐标，就可化简  

2sin2α+sin2α

1+tanα

，进而求值．

解答：解：（Ⅰ）∵A、B、C的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα ）．
∴

AC

=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3）
∴

|AC

|=

(cosα-3)2+(sinα)2

，|

BC

|=

(cosα)2+(sinα-3)2

∵|

AC

|=|

BC

|，∴

(cosα-3)2+(sinα)2

=

(cosα)2+(sinα-3)2

即，（cosα-3）²+（sinα）²=（cosα）²+（sinα-3）²
∴sinα=cosα，∴tanα=1，∴α=kπ+

π

4

，k∈Z
（Ⅱ）由（1）知，

AC

=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3）
∴

AC

•

BC

=（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=1-3（sinα+cosα）=-1
∴sinα+cosα=

2

3

，∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=(

2

3

)2
∴2sinαcosα=-

5

9

2sin2α+sin2α

1+tanα

=

2sin2α+2sinαcosα

1+ sinα cosα

=2sinαcosα=-

5

9

点评：本题考查了向量的模，以及数量积的计算，做题时要细心，避免出错．