Question

已知c≥1，a+b+c≥1（a∈N^*）．若方程ax³+bx+c=0有两个小于1的不等正根，则a的最小值为

5

．

Answer 1

分析：将二次函数f（x）设成两点式形式，根据条件写出两点式形式的关系式，将a分离出来，然后利用基本不等式求出最值即可．

解答：解：设f（x）=a（x-p）（x-q），其中p，q属于（0，1）且p不等于q．
由f（0）≥1及f（1）≥1，可得：apq≥1，a（1-p）（1-q）≥1，
两式相乘有a²p（1-p）q（1-q）≥1，即a²≥

1

p(1-p)q(1-q)

，
又由基本不等式可得：p（1-p）q（1-q）≤

1

16

由于上式取等号当且仅当p=q=

1

2

与已知矛盾，故上式的等号取不到，
故p（1-p）q（1-q）＜

1

16

因此得到a²＞16即a＞4
如：函数f（x）=5x²-5x+1满足题设的所有条件，
因此a的最小值为5．
故选答案为：5．

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及根的分布问题，本题解题的关键是熟练应用基本不等式求最值，属于中档题目．