Question

一个电路中有三个电子元件，它们接通的概率都是m(0＜m＜1)如下图有三种接通方法：

(1)分别求出这三种电路各自接通的概率；

(2)试分析这三种电路哪种性能最优？并证明你的结论.

Answer 1

解：(1)设三种电路各自接通的事件分别记为A₁，A₂，A₃.显然如图（1）P(A₁)=m·m·m=m³.

    电路［如图(2)］接通有三种情况：三个电子元件全通；并联的两个电子元件上通下不通，或下通上不通，同时第三个电子元件也通.

∴P(A₂)=m³+2(1-m)m²=2m²-m³.

    电路［如图(3)］至少有一个电子元件能接通，其对立事件是三个电子元件都不通.

∵P(A₃)=(1-m)³,

∴P(A₃)=1-(1-m)³=m³-3m²+3m.

(2)当m∈(0,1)时,P(A₃)-P(A₁)=3m(1-m)＞0,

P(A₃)-P(A₂)=m(2m-3)(m-1)＞0.

∴P(A₃)＞P(A₁)且P(A₃)＞P(A₂).

    故如图(3)所示电路接通的概率最大，它的性质最优.