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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短轴长为2
3
,右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A、B是椭圆C上的不同两点,点D(-4,0),且满足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
1
2
],求直线AB的斜率的取值范围.
分析:(1)先由短轴长为2
3
求出b,再由右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合c,从而得到长半半轴长a,写出椭圆的标准方程.
(2)先AB的方程y=k(x+4),将直线的方程代入椭圆的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根系数的关系利用向量坐标公式利用函数的单调性即可求得直线AB的斜率的取值范围,从而解决问题.
解答:解:(1)由已知b=
3
,c=1,a=2,所以椭圆的方程
x2
4
+
y2
3
=1
(4分)
(2)
DA
DB
,D,A,B三点共线,D(-4,0),且直AB的斜率一定存在,所以AB的方程y=k(x+4),
与椭圆的方
x2
4
+
y2
3
=1
联立得(3+4k2)y2-24ky+36k2=0
△>0,k2
1
4
.(6分)
A(x1,y1),B(x2,y2),y1+y2=
24k
3+4k 2
,y1y2=
36k 2
3+4k 2

DA
DB
得:(x1+4,y1)=λ(x2+4,y2),y1=λy2②.
将②式代入①式,消去y2得:
16
3+4k 2
=
(1+λ) 2
λ
=
1
λ
+λ+2
(9分)
当λ∈[
3
8
1
2
],时,h(λ)=
1
λ
+λ+2
是减函数
9
2
≤ 
16
3+4k 2
121
24

解得[-
5
6
,-
21
22
]∪[
21
22
5
6
]

∴直线AB的斜率的取值范围是[-
5
6
,-
21
22
]∪[
21
22
5
6
]
(12分)
点评:本题主要考查了椭圆的定义和标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题、平面向量的运算等.直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,突出考查了数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
1
2
,且经过点P(1,
3
2
)

(1)求椭圆C的方程;
(2)设F是椭圆C的左焦,判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系,并说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)经过点A(1,
3
2
),且离心率e=
3
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点B(-1,0)能否作出直线l,使l与椭圆C交于M、N两点,且以MN为直径的圆经过坐标原点O.若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•房山区二模)已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的长轴长是4,离心率为
1
2

(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设过点P(0,-2)的直线l交椭圆于M,N两点,且M,N不与椭圆的顶点重合,若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A,求直线l的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短轴长为2,离心率为
2
2
,设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,过A,B作直线x=2的垂线AP,BQ,垂足分别为P,Q.记λ=
AP+BQ
PQ
,若直线l的斜率k≥
3
,则λ的取值范围为
 

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