Question

直线与函数y=sinx（x∈[0，π]）的图象相切于点A，且l∥OP，O为坐标原点，P为图象的极大值点，与x轴交于点B，过切点A作x轴的垂线，垂足为C，则

BA

•

BC

=（　　）

• A．

  π2

  4

• B．

  π2-4

  4

• C．

  π

  2

• D．2

Answer 1

分析：直线l的斜率即为OP的斜率，即函数y=sinx在点A处的导数，得到 cosx₁=

2

π

，点斜式写出AB直线的方程，
求出点B的横坐标，由

BA

•

BC

=|

BA

|•|

BC

|•cos∠ABC=

BC

2=（x₁-x_B）² 求出结果．

解答：解：∵P（

π

2

，1），直线l的斜率即为OP的斜率

1-0

π 2 -0

=

2

π

．
设 A（x₁，y₁），由于函数y=sinx在点A处的导数即为直线l的斜率，
∴cosx₁=

2

π

，y₁=sinx₁=

1-(cosx1)2

=

π2-4

π

，
∴AB直线的方程为 y-y₁=

2

π

（x-x₁ ），令y=0 可得点B的横坐标 x_B=x₁-

π

2

y₁，
由

BA

•

BC

=|

BA

|•|

BC

|•cos∠ABC=

BC

2=（x₁-x_B）² =(

π

2

y 1)2=

π2

4

×

π2-4

π2

=

π2-4

4

，
故选B．

点评：本题考查直线的斜率公式，函数的导数与斜率的关系，求直线的点斜式方程，以及两个向量数量积的定义，
属于中档题．