Question

【题目】已知首项为的数列各项均为正数，且，.

(1)若数列的通项满足，且，求数列的前n项和为；

(2)若数列的通项满足，前n项和为，当数列是等差数列时，对任意的，均存在，使得成立，求满足条件的所有整数构成的集合.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

(1)由条件可变形为，可得数列是以为首项，以2为公比的等比数列，进而可得，则，再利用错位相减法求和即可；

(2)根据(1)求出，，，由数列是等差数列，列方程可得或，分和讨论，通过条件对任意的，均存在，使得成立，可得.

(1)∵数列各项均为正数，且，

，即，即.

∴数列是以为首项，以2为公比的等比数列，

，

∴数列的通项公式为.

∵，∴，

∴，

，

两式相减，得，

，

∴数列的前n项和；

(2)∵数列的通项，

∴由(1)得，，∴，，.

又数列是等差数列，∴.

，即.

解得或.

又，

∴当时，，为等差数列，

对任意的，均存在，使得成立，

，

，.

又为正整数，∴满足条件的所有整数的值构成的集合为

.

当时，，不是常数，

∴数列不是等差数列，舍去.

综上，满足条件的所有整数的值构成的集合为

.