Question

（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，试比较与1的大小；
（Ⅲ）求证：．

Answer 1

（1）或；
（2）①当时，，即；
②当时，，即；
③当时，，即．
（3）见解析.

(I)本小题的实质是利用导数研究函数f(x)的单调性极值，结合草图，确定出直线y=k与函数y=f(x)的图像有一个公共点时，确定k的取值范围.
(II)当a=2时，可以采用作差法比较f(x)与1的大小，然后构造函数，研究其单调区间最值，从而判断它们之间的大小关系.
(III)解决本小题最佳途径是利用(2)的结论，当时，，即．
令，则有， 然后解本题的另一个关键点判断出,从而证明出.
另外也可以考虑数学归纳法.
解：（Ⅰ）当时，，定义域是，
， 令，得或． …2分
当或时，，当时，，
函数在、上单调递增，在上单调递减． ……………4分
的极大值是，极小值是．
当时，；当时，，
当仅有一个零点时，的取值范围是或．………5分
（Ⅱ）当时，，定义域为．
令，
，
在上是增函数．             ……………………7分
①当时，，即；
②当时，，即；
③当时，，即． …………………………………9分
（Ⅲ）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．
令，则有，   ． ……12分
，
．               ………………………14分
（法二）当时，．
，，即时命题成立．  …………………10分
设当时，命题成立，即 ．
时，．
根据（Ⅱ）的结论，当时，，即．
令，则有，
则有，即时命题也成立．………13分
因此，由数学归纳法可知不等式成立．                ………………………14分
（法三）如图，根据定积分的定义，

得．……11分

，

． ………………………………12分
，
又，，
．
．               …………………………………14分