Question

【题目】已知I为△ABC的内心，cosA= ，若 =x +y ，则x+y的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：设圆I与△ABC三边的切点为D、E、F，则cos∠BAC=2cos2∠DAI﹣1= ，∴cos∠DAI= ，

设圆I的半径为1，则AD=AE= ，AI=4，

设BD=BF=m，CF=CE=n，

由余弦定理得cos∠BAC= = ，

整理可得：mn= +1≤（ ）2．

∴m+n≥ ．

∵I为△ABC的内心，

∴（m+n） +（n+ ） +（m+ ） = ，

∴（m+n） +（n+ ）（ ）+（m+ ）（ + ）= ，

∴ = + ，

∴x+y= = + ≤ + = ．

所以答案是：D．

【考点精析】解答此题的关键在于理解平面向量的基本定理及其意义的相关知识，掌握如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．