Question

已知函数f(x)=ax-

1

x

-lnx，a∈R，x∈[

1

2

，2]．
（1）当a=-2时，求f（x）的最大值；
（2）设g（x）=[f（x）+lnx]•x²，k是g（x）图象上不同的两点的连线的斜率，是否存在实数a，使得k＜1恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当a=-2时，求导函数，确定f（x）在区间[

1

2

，2]上单调递减，从而可求f（x）的最大值；
（2）存在a∈(-∞，

1

6

)符合条件．
解法一：据题意存在k=

y1-y2

x1-x2

=

g(x1)-g(x2)

x1-x2

=g′(x0)=3ax02-1＜1，分离参数，可得结论；
解法二：据题意存在k=

y1-y2

x1-x2

=

y1-y2

x1-x2

=

a(x13-x23)-(x1-x2)

x1-x2

=a(x12+x22+x1x2)-1＜1，分离参数，可得结论．

解答：解：f（x）的定义域为[

1

2

，2]，f′(x)=a+

1

x2

-

1

x

…（2分）
（1）当a=-2时，在x∈[

1

2

，2]，f′(x)=-

(2x-1)(x+1)

x2

≤0，…（4分）
所以f（x）在区间[

1

2

，2]上单调递减，…（6分）
故f(x)max=f(

1

2

)=ln2-3．                                …（7分）
（2）存在a∈(-∞，

1

6

)符合条件．
解法一：据题意在y=g（x）=[f（x）+lnx]•x²=ax³-x图象上总可以找到一点P₀（x₀，y₀）使以p为切点的切线平行图象上的任意两点的连线，…（9分）
即存在k=

y1-y2

x1-x2

=

g(x1)-g(x2)

x1-x2

=g′(x0)=3ax02-1＜1恒成立，…（12分）
因为x0∈[

1

2

，2]，所以x02∈[

1

4

，4]，所以a＜(

2

3x02

)min=

1

6

…（14分）
故存在a∈(-∞，

1

6

)符合条件．                               …（15分）
解法二：g（x）=[f（x）+lnx]•x²=ax³-x，不妨设任意不同两点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）其中x₁＜x₂，则k=

y1-y2

x1-x2

=

y1-y2

x1-x2

=

a(x13-x23)-(x1-x2)

x1-x2

=a(x12+x22+x1x2)-1＜1…（10分）
由于k＜1恒成立，则k＜3ax22-1＜1恒成立，知a＜

2

3x2

恒成立…（12分）
因为x2∈[

1

2

，2]，所以x22∈[

1

4

，4]，故a＜(

2

3x2

)min=

1

6

，…（14分）
故存在a∈(-∞，

1

6

)符合条件．                           …（15分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，属于中档题．