【题目】某地举行水上运动会，如图，岸边有
两点，
，小船从
点以
千米/小时的速度沿
方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过
小时与小船相遇.（水流速度忽略不计）
（1）若
，
，运动员从
处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；
（2）若运动员先从处沿射线
方向在岸边跑步匀速行进
小时后，再游泳匀速直线追赶小船.已知运动员在岸边跑步的速度为4千米小时，在水中游泳的速度为2千米小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下的最大值.
【答案】（1）2；（2）
.
【解析】
（1）设运动员游泳的速度为
千米/小时，结合余弦定理即可表示出
，再由二次函数性质即可求得速度的最小值.
（2）根据余弦定理代入化简变形，可转化为一元二次方程，由一元二次方程有解，即可确定
，进而求得速度的最大值.
（1）设运动员游泳的速度为千米/小时，
由余弦定理可知
，
化简可得
，
因为
，所以
，
则当
，即
时，取得最小值，此时
，
所以为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，运动员游泳速度的最小值为2.
（2）运动员游泳时间为
小时，运动员在岸边跑步的速度为4千米小时，在水中游泳的速度为2千米小时，
由余弦定理可知
，
整理化简可得
，
设
，
则上式可化为
在
内有解，
则
，
解得
，
当
时，代入方程可解得
，满足
，
所以小船在能与运动员相遇的条件下
的最大值为.
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【题目】（本小题满分12分）如图，在多面体
中，底面
是边长为
的的菱形， 
，四边形
是矩形，平面
平面
， 
， 
和
分别是
和
的中点．
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小．
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【题目】已知实数a满足1＜a≤2，设函数f (x)＝
x3－
x2＋ax．
(Ⅰ) 当a＝2时，求f (x)的极小值；
(Ⅱ) 若函数g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x (b∈R) 的极小值点与f (x)的极小值点相同，
求证：g(x)的极大值小于等于10．
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【题目】如图，在正三棱柱
中，
.
（1）求直线
与平面
所成角的正弦值；
（2）在线段
上是否存在点
？使得二面角
的大小为60°，若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由.
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【题目】如图，在空间之间坐标系
中，四棱锥
的底面
在平面
上，其中点
与坐标原点
重合，点
在
轴上，
，
，顶点
在
轴上，且
，
.
（1）求直线
与平面
所成角的大小；
（2）设
为
的中点，点
在
上，且
，求二面角
的正弦值.
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【题目】已知从椭圆
的一个焦点看两短轴端点所成视角为
,且椭圆经过
.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在实数
,使直线
与椭圆有两个不同交点
，且
（
为坐标原点），若存在,求出
的值.不存在,说明理由.
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【题目】已知方程
表示的曲线为
的图象，对于函数有如下结论：①
在
上单调递减；②函数
至少存在一个零点；③
的最大值为
；④若函数
和图象关于原点对称，则
由方程
所确定；则正确命题序号为( )
A.①③B.②③C.①④D.②④
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