Question

（本小题满分12分）
已知函数为自然对数的底数）.
当时,求的单调区间;若函数在上无零点,求最小值;
若对任意给定的,在上总存在两个不同的),使成立,求的取值范围.

Answer 1

(1) 的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,).
(2) 的最小值为.
(3) 时，对任意给定的，在上总存在两个不同的），使得成立。

试题分析：解：（I）当时,,则.由得;由得.故的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,).
(II)因为在区间上恒成立是不可能的,故要使函数在上无零点,只要对任意,恒成立.即对,恒成立.令，，则，再令，，则。故在为减函数，于是，从而，于是在上为增函数，所以，故要使恒成立，只要.综上可知，若函数在上无零点，则的最小值为
.
（III），所以在上递增，在上递减.又
，，所以函数在上的值域为.当时，不合题意；当时，， 。
当时，，由题意知，在上不单调，故，即。此时，当变化时，，的变化情况如下：

	—	0	+
	↘	最小值	↗

又因为当时，，，，所以，对任意给定的，在上总存在两个不同的），使得成立，当且仅当满足下列条件：
，令，，则，故当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以，对任意的，有，即(2)对任意恒成立，则(3)式解得(4)。综合(1)、(4)可知，当时，对任意给定的，在上总存在两个不同的），使得成立。
点评：解决该试题的关键是能利用函数的导数符号判定其单调性，以及根据函数的单调性得到最值，同时能结合函数与方程的知识求解根的问题，属于中档题。