精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知

(1)求的单调区间;

(2)证明:当时,恒成立;

(3)任取两个不相等的正数,且,若存在使成立,证明:

【解析】(1)g(x)=lnx+=        (1’)

当k0时,>0,所以函数g(x)的增区间为(0,+),无减区间;

当k>0时,>0,得x>k;<0,得0<x<k∴增区间(k,+)减区间为(0,k)(3’)

(2)设h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x=e, 当x变化时,h(x),的变化情况如表

x

1

(1,e)

e

(e,+)

 

0

+

h(x)

e-2

0

所以h(x)0, ∴f(x)2x-e                    (5’)

设G(x)=lnx-(x1) ==0,当且仅当x=1时,=0所以G(x) 为减函数, 所以G(x)  G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,综上,当x1时, 2x-ef(x)恒成立.

(3) ∵=lnx+1∴lnx0+1==∴lnx0=-1      ∴lnx0 –lnx=-1–lnx===(10’)  设H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函数,并且H(t)在t=1处有意义, 所以H(t) <H(1)=0∵=

∴lnx0 –lnx>0, ∴x0 >x

 

【答案】

见解析

 

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数

(1)判断函数的奇偶性;

(2)判断函数在(-1,1)上的单调性并证明;

(3)若函数的定义域和值域同时为,求实数的值

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x+.

(1)画出函数的图象,并求其单调区间;

(2)用定义法证明函数在(0,1)上的单调性.

查看答案和解析>>

同步练习册答案