Question

在正三棱锥S-ABC中，M，N分别是SB，SC的中点．若面AMN⊥面SBC，则二面角S-BC-A的平面角的余弦值为

6

6

．

Answer 1

分析：如图，设D为BC中点，则 SD⊥BC，AD⊥SD，∠SDA二面角S-BC-A的平面角． 设底面边长为2，侧棱长为a，通过解三角形的方法，解得a=

3

，在△SAD中，由余弦定理求出∠SDA 的余弦值．

解答：解：设D为BC中点，则 SD⊥BC，SD⊥MN，垂足为E，E为MN中点．又面AMN⊥面SBC，则 SE⊥面AMN，SE⊥AE．
又AD⊥SD，∴∠SDA二面角S-BC-A的平面角
设底面边长为2，侧棱长为a，在△SBC中，SD²=a²-1，SE²=

1

4

SD²=

a2-1

4

，ME=

1

2

MN=

1

2

．
在△SAB中，由余弦定理，cos∠ASB=

SA2+SB2-AB2

2SB×SA

=

SA2+SM2-AM2

2SM×SA

，代入数据化简得

a2-2

a2

=

5 4 a2-AM2

a2

，AM²=

a2

4

+2，
在△SAE中，由勾股定理，得出 SA²=AE²+SE²=AM²-ME²+E²，即a²=

a2

4

+2-

1

4

+

a2-1

4

，解得a²=3，a=

3

在△SAD中，由余弦定理，cos∠SDA=

SD2+AD2-SA2

2SD×AD

=

2+3-3

2× 2 × 3

=

6

6

故答案为：

6

6

．

点评：本题考查二面角角的计算，线面垂直，面面垂直的定义，性质、判定，考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法．