Question

如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，连接A′C得到三棱锥A′-BCD，A′F垂直BD于F，E为BC的中点，
(Ⅰ)求证：EF∥平面A′CD；
(Ⅱ)求直线A′E与平面BCD所成角的余弦值；
(Ⅲ)二面角B-A′C-D的余弦值．

Answer 1

(Ⅰ)根据题意，有平面A′BD⊥平面BCD，A′F⊥BD于F，A′D= A′B， ∴F为BD的中点， 又E为BC的中点， ∴EF∥CD， ∴EF∥平面A′CD。 (Ⅱ)∵平面A′BD⊥平面BCD，A′F⊥BD， ∴A′F⊥平面BCD， ∴∠A′EF为直线A′E与平面BCD所成的角， 设正方形ABCD边长为a，则， ∴， ∴直线A′E与平面BCD所成角的余弦值为。
(Ⅲ)连结FC，有，∴， ∴A′B=BC=A′C=A′D=CD=a， 取A′C的中点为M，则BM⊥A′C，DM⊥A′C， ∴∠BMD为二面角B-A′C-D的平面角， ∵△A′BC和△A′DC都为正三角形， ∴， ∴， ∴二面角B-A′C-D的余弦值为。