Question

定义在R上的函数f (x)满足：如果对任意x₁，x₂R，都有，则称函数f (x)是R上的凹函数．已知二次函数．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m   

（1）当时,试判断函数f (x)是否为凹函数,并说明理由；

（2）如果函数f (x)对任意的x[0，1]时，都有，试求实数a的范围。

 

Answer 1

解析：（1）a=1时，函数f (x)是凹函数。        

    此时     ，

= ()² + ()，

[f (x₁) + f (x₂)] =[x+ x₁ + x+ x₂]，   

作差得到：  ² [f (x₁) + f (x₂)]

= ()² + ()  (x+ x) (x₁ + x₂) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

    =

    = =0，                   

    即有[f (x₁) + f (x₂)]，

故知函数为凹函数       w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

  （2）由

则有  

i）若x = 0时，则aR恒成立．

ii）若x时，有

       ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

∴当= 1时，[ (+)² +]_max = 2，所以，

[  ()² ]_min = 0，所以．                          

又∵a≠0，故得到a．