Question

已知

i

，

j

是x，y轴正方向的单位向量，设

a

=(x+2)

i

+y

j

，

b

=(x-2)

i

+y

j

，且满足|

a

|-|

b

|=2
（1）求点P（x，y）的轨迹E的方程．
（2）若直线l过点F₂（2，0）且法向量为

n

=（t，1），直线与轨迹E交于P、Q两点．点M（-1，0），无论直线l绕点F₂怎样转动，

MP

•

MQ

是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．并求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）条件“|

a

|-|

b

|=2”可以看成是动点到两定点的距离之差为2，联想双曲线的定义解决“点P（x，y）的轨迹C”问题，即点P（x，y）的轨迹是以（-2，0），（2，0）为焦点，2a=2的双曲线，从而解决问题；
（2）设直线l的方程为y=-t（x-2），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得

MP

•

MQ

值，从而解决问题．

解答：解：（1）由条件“|

a

|-|

b

|=2”知：动点到两定点的距离之差为2，是双曲线，
故方程为x2-

y2

3

=1(x≥1)，（（4分）+（1分）定义域）
（2）设直线l的方程为t（x-2）+y=0或y=-t（x-2）（1分）
由

y=-t(x-2) x2- y2 3 =1

得（t²-3）x²-4t²x+4t²+3=0（1分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由条件得

t2-3≠0 △=16t4-4(t2-3)(4t2+3)=36+36t2＞0 x1+x2= 4t2 t2-3 ＞0 x1x2= 4t2+3 t2-3 ＞0

（只计算△=36+36t²＞01分）
解得t²＞3即t∈(-∞，-

3

)∪(

3

，+∞)（（1分）

MP

 •

MQ

=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂（1分）
=x₁x₂+x₁+x₂+1+t²（x₁-2）（x₂-2）（1分）
=（t²+1）x₁x₂-（2t²-1）（x₁+x₂）+1+4t²（1分）
=

4t4+7t2+3

t2-3

-

8t4+4t2

t2-3

+1+4t2=0（2分）．

点评：（1）平面向量与解析几何的结合通常涉及轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算，或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题；（2）直线l与点P的轨迹的交点问题，组成方程组解决．