Question

已知f(x)=sinxcosx+cos2x-

1

2

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值，并求使f（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用两角和正弦公式和二倍角公式花简函数f（x）=

2

2

sin（x+

π

4

）+

1

2

，即得其周期．
 （2）根据函数f（x）的解析式和正弦函数的定义域、值域，求出函数的最大值及取最大值时x的集合．

解答：解：（1）函数f（x）=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=

2

2

sin（x+

π

4

）+

1

2

，
故最小正周期等于2π．
（2）∵函数f（x）=

2

2

sin（x+

π

4

）+

1

2

，故函数f（x）的最大值为

2 +1

2

，
此时，x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即 x=2kπ+

π

4

 k∈z．
 故使f（x）取得最大值的x的集合为{x|x=2kπ+

π

4

 k∈z }．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性和值域，属于中档题．