Question

【题目】已知函数 ，且 ．
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明；
（3）求函数f（x）在区间[﹣5，﹣1]上的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得： ，

即：4m=4，解得：m=1

（2）解：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数．

证明：设0＜x1＜x2，

则 = ；

∵0＜x1＜x2

∴ ，

即f（x2）﹣f（x1）＜0，

∴f（x2）＜f（x1），

∴f（x）在（0，+∞）上为减函数

（3）解：由（1）知：函数 ，其定义域为{x|x≠0}．

∴ ，即函数f（x）为奇函数．

由（2）知：f（x）在[1，5]上为减函数，则函数f（x）在区间[﹣5，﹣1]上为减函数．

∴当x=﹣5时，f（x）取得最大值，最大值为 ；

当x=﹣1时，f（x）取得最小值，最小值为f（﹣1）=﹣2+1=﹣1

【解析】（1）由 代入可求m；（2）先设0＜x1＜x2 ， 利用作差可得 = ，根据已知判断比较f（x2）与f（x1）即可；（3）由（1）知：函数 ，其定义域为{x|x≠0}．且可证函数f（x）为奇函数．结合（2）知f（x）在[1，5]上为减函数，则根据奇函数的性质可知函数f（x）在区间[﹣5，﹣1]上为减函数．结合函数单调性可求
【考点精析】掌握函数单调性的判断方法和奇偶性与单调性的综合是解答本题的根本，需要知道单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．