Question

已知函数f（x）=2^-x-1-3，x∈R，g(x)=

f(x-1)+2，-1＜x≤0 g(x-1)+k，x＞0

，有下列说法：
①不等式f（x）＞0的解集是（-∞，-1-log₂3）；
②若关于x的方程f²（x）+8f（x）-m=0有实数解，则m≥-16；
③当k=0时，若g（x）≤m有解，则m的取值范围为[0，+∞）；若g（x）＜m恒成立，则m的取值范围为[1，+∞）；
④若k=2，则函数h（x）=g（x）-2x在区间[0，n]（n∈N*）上有n+1个零点．
其中你认为正确的所有说法的序号是

①③④

．

Answer 1

分析：①由2^-x-1-3＞0，可得x＜-1-log₂3；
②令t=2^-x-1-3（t＞-3），关于x的方程f²（x）+8f（x）-m=0有实数解，等价于t²+8t-m=0有大于-3的解，由此可得结论；
③确定函数g（x）的函数的值域为[0，1），即可得到结论；
④若k=2，则函数h（x）=g（x）-2x在区间[0，1]上有2个零点0和1，在区间[0，n]（n∈N^*）上有n+1个零点，即为0，1，2…，n．

解答：解：①由2^-x-1-3＞0，可得x＜-1-log₂3，∴不等式f（x）＞0的解集是（-∞，-1-log₂3），∴①正确；
②令t=2^-x-1-3（t＞-3），∵关于x的方程f²（x）+8f（x）-m=0有实数解，∴t²+8t-m=0有大于-3的解，∴

△=64+4m＞0 (-3)2+8×(-3)-m＜0

，∴m＞-15，故②不正确；
③由题意，函数g（x）的函数的值域为[0，1），∴若g（x）≤m有解，则m的取值范围为[0，+∞）；若g（x）＜m恒成立，则m的取值范围为[1，+∞），即③正确；
④若k=2，则函数h（x）=g（x）-2x在区间[0，1]上有2个零点0和1，在区间[0，n]（n∈N^*）上有n+1个零点，即为0，1，2…，n，故正确
综上，正确的所有说法的序号是①③④
故答案为：①③④

点评：本题考查命题真假的判定，考查函数与方程思想，考查学生防线解决问题的能力，属于中档题．