Question

【题目】已知函数．

(1)判断的单调性；

(2)若在(1，+∞)上恒成立，且=0有唯一解，试证明a<1．

Answer 1

【答案】（1）f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）见解析

【解析】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；

（2）问题转化为﹣2lnx00，令g（x0）＝﹣2lnx0，根据函数的单调性证明即可．

（1）函数的定义域是（0，+∞），

f′（x）x﹣a，

易知x2﹣ax﹣2＝0有两根，x10，x2，

故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；

（2）∵a＜0，∴1，

∴f′（x）在（1，+∞）上有唯一零点x0，

又f′（x）x﹣a，∴x0﹣a＝0①，

要使f（x）≥0在区间（1，+∞）恒成立，且f（x）＝0有唯一解，

须f（x0）＝0，即﹣2lnx0（1）﹣ax0＝0②，

由①②得：

﹣2lnx0（1）﹣x0（x0）＝0，

故﹣2lnx00，

令g（x0）＝﹣2lnx0，

显然g（x0）在（1，+∞）递减，

∵g（1）＝2＞0，g（2）＝﹣2ln20，

∴1＜x0＜2，

又∵ax0在（1，+∞）递增，

故a＜1．