Question

【题目】设是函数的导数，若是的导数，若方程方有实数解，则称.

点为函数的“拐点”.已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设，数列的通项公式为，则__________．

Answer 1

【答案】4034

【解析】

由题意对已知函数求两次导数可得f′′（x）=2x﹣4，由题意可得函数的图象关于点（2，2）对称，即f（x）+f（4﹣x）=2，由数列{an}的通项公式分析可得{an}为等差数列，且a1+a2017=a2+a2016=…=2a1009=4，而=f（a1）+f（a2）+…+f（a2016）+f（a2017），结合f（x）+f（4﹣x）=2，计算可得答案．

根据题意，三次函数，

则=x2﹣4x+，

则=2x﹣4，

若=2x﹣4=0，则有x=2，

又由，则f（2）=2，

即（2，2）是三次函数的对称中心，

则有f（x）+f（4﹣x）=4，

数列{an}的通项公式为an=n﹣1007，为等差数列，

则有a1+a2017=a2+a2016=…=2a1009=4

则=f（a1）+f（a2）+…+f（a2016）+f（a2017）

=f（a1）+f（a2017）+f（a2）+f（a2016）+…+f（a1008）+f（a1010）+f（a1009）

=4×1008+2=4034；

故答案为：4034．