Question

烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境．已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离成反比，现有两座烟囱相距10km，其中甲烟囱喷出的烟尘浓度是乙烟囱的2倍，在距甲烟囱1km处的烟尘浓度为2个单位/m³，现要在甲、乙两烟囱之间建立一所学校，问学校建在何处，烟尘对学校的影响最小？

Answer 1

分析：学校建立在离甲烟囱xkm处时，该处甲烟囱的烟尘浓度为y甲=

2k

x

，乙为y乙=

k

10-x

，（其中0＜x＜10）；
在该处的烟尘浓度为f（x）=y_甲+y_乙，且由在距甲烟囱1km处的烟尘浓度为2个单位/m³得，

2k

1

=2从而得k值，求出函数f（x）在定义域内的最大值及此时的x的值．

解答：解：设学校建立在离甲烟囱xkm处，则该处甲、乙两烟囱的烟尘浓度分别为：
y甲=

2k

x

，y乙=

k

10-x

，（0＜x＜10）；
在该处的烟尘浓度为：f(x)=y甲+y乙=

2k

x

+

k

10-x

，（0＜x＜10）；
由已知：2=

2k

1

，∴k=1，
所以f(x)=

2

x

+

1

10-x

=

20-x

10x-x2

=

20-x

-(20-x)2+30(20-x)-200

=

1

30-[(20-x)+ 200 20-x ]

≥

1

30-2 200

=

1

30-20 2

当且仅当20-x=

200

，即x=20-10

2

时取等号，
故学校应建立在离甲烟囱(20-10

2

)km处，烟尘对学校的影响最小．

点评：本题考查了反比例函数模型及其应用，基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0）的应用；利用基本不等式解题时，要注意“=”成立的条件是什么．