Question

函数f（x）=ax³+（a-1）x²+48（a-2）x+b的图象关于原点成中心对称，则f（x）在[-4，4]上的单调性是（　　）

A．增函数

B．减函数

C．在[-4，0]上是增函数，在[0，4]上是减函数

D．在[-4，0]上是减函数，在[0，4]上是增函数

Answer 1

分析：依题意，f（x）为奇函数，从而可得a=1，b=0，利用f（x）=x³-48x的导函数判断即可．

解答：解：∵f（x）=ax³+（a-1）x²+48（a-2）x+b的图象关于原点成中心对称，
∴y=f（x）为奇函数，
∴f（0）=b=0，
f（-1）+f（1）=0，即-a+（a-1）-48（a-2）+a+（a-1）+48（a-2）=0
∴a=1，
∴f（x）=x³-48x，
∴f′（x）=3x²-48=3（x²-16），
当x∈[-4，4]时，f′（x）≤0，
∴f（x）在[-4，4]上是单调减函数．
故选B．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，求得a=1，b=0是关键，属于中档题．