Question

设函数y=f（x）对任意实数x，都有f（x）=2f（x+1），当x∈[0，1]时，f（x）=

27

4

x²（1-x）．
（Ⅰ）已知n∈N₊，当x∈[n，n+1]时，求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求证：对于任意的n∈N₊，当x∈[n，n+1]时，都有|f（x）|≤

1

2n

；
（Ⅲ）对于函数y=f（x）（x∈[0，+∞），若在它的图象上存在点P，使经过点P的切线与直线x+y=1平行，那么这样点有多少个？并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过已知表达式，求出f（x-n）=

27

4

（x-n）²（1+n-x）．通过递推关系式求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出函数的导数，求出函数的最大值，利用最大值小于等于

1

2n

，即可证明对于任意的n∈N₊，当x∈[n，n+1]时，都有|f（x）|≤

1

2n

；
（Ⅲ）对于函数y=f（x）（x∈[0，+∞），若在它的图象上存在点P，使经过点P的切线与直线x+y=1平行，转化为方程f'（x）=-1在[n，n+1]上有解问题，通过①当0≤n≤2时，g（n+1）≥0，推出有一解，即存在三个点P；②n≥3时，g（n+1）＜0，没有解．得到结果．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=2f（x+1）⇒f（x）=

1

2

f（x-1），x∈[n，n+1]，则（x-n）∈[0，1]
⇒f（x-n）=

27

4

（x-n）²（1+n-x）．
f（x）=

1

2

f（x-1）=

1

22

f（x-2）=…=

1

2n

f（x-n）=

27

2n+2

（x-n）²（1+n-x）．（n=0也适用）．…（4分）
（Ⅱ）f'（x）=-

81

2n+2

(x-n)(x-

3n+2

3

)，由f'（x）=0得x=n或x=n+

2

3

x	n	（n，n+ 2 3 ）	n+ 2 3	（n+ 2 3 ，n+1）	n+1
f'（x）		+	0	-	+
	0	↗	极大	↘	0

f（x）的极大值为f（x）的最大值，fmax=f(n+

2

3

)=

1

2n

，
又f（x）≥f（n）=f（n+1）=0，∴|f（x）|=f（x）≤

1

2n

（x∈[n，n+1]）．…（8分）
（Ⅲ）y=f（x），x∈[0，+∞）即为y=f（x），x∈[n，n+1]，f'（x）=-1．
本题转化为方程f'（x）=-1在[n，n+1]上有解问题
即方程(x-n)(x-

3n+2

3

)-

2n+2

81

=0在[n，n+1]内是否有解．…（11分）
令g（x）=(x-n)(x-

3n+2

3

)-

2n+2

81

=x2-

6n+2

3

x+

3n2+2n

3

-

2n+2

81

6，
对轴称x=n+

1

3

∈[n，n+1]，
又△=…=

4

9

+

2n+4

81

＞0，g（n）=-

2n+2

81

＜0，g（n+1）=

27-2n+2

81

，
①当0≤n≤2时，g（n+1）≥0，∴方程g（x）=0在区间[0，1]，[1，2]，[2，3]上分别有一解，即存在三个点P；
②n≥3时，g（n+1）＜0，方程g（x）=0在[n，n+1]上无解，即不存在这样点P．
综上所述：满足条件的点P有三个．…（16分）

点评：本题通过函数的导数判断函数的单调性求出函数的最大值，证明恒成立问题的应用，考查函数与方程的根的问题，考查转化思想，逻辑推理能力，计算能力．