Question

已知函数y=x+有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，上是减函数，在，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+在（0，4）上是减函数，在（4，+∞）上是增函数，求实常数b的值；
（2）设常数c∈1，4，求函数f（x）=x+（1≤x≤2）的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据函数y=x+的性质可知=4，从而可求出b的值；
（2）讨论是否在定义域内，从而可求出函数的最小值，讨论c可确定f（1）与f（2）的大小，从而求出函数的最大值．
解答：解：（1）由函数y=x+的性质知：y=x+在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，
∴=4，∴2^b=16=2⁴，∴b=4．
（2）∵c∈（1，4），∴∈1，2．
又∵f（x）=x+在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，
∴∈[1，2]时，当x=时，函数取得最小值2 ．
又f（1）=1+c，f（2）=2+，
f（2）-f（1）=1-．
当c∈（1，2）时，f（2）-f（1）＞0，f（2）＞f（1），
此时f（x）的最大值为f（2）=2+．
当c=2时，f（2）-f（1）=0，f（2）=f（1），
此时f（x）的最大值为f（2）=f（1）=3．
当c∈（2，4时，f（2）-f（1）＜0，f（2）＜f（1），
此时f（x）的最大值为f（1）=1+c．
综上所述，函数f（x）的最小值为2；
当c∈（1，2）时，函数f（x）的最大值为2+；
当c=2时，函数f（x）的最大值为3；
当c∈（2，4）时，函数f（x）的最大值为1+c．
点评：本题主要考查了新定义，以及函数的最大值和最小值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．