Question

如图：已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，且PD=AD，E是PA的中点．
（1）证明：PC∥平面EBC
（2）证明：平面PBC⊥平面PCD
（3）求BE与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）连结AC交BD于O，连接EO，利用三角形中位线的性质，证明线线平行，可得线面平行；
（2）利用线面垂直的判定，证明BC⊥平面PCD，再利用面面垂直的判定定理，即可证明；
（3）取AD中点F，证明∠EBF是直线BE与平面ABCD所成角，即可求其正切值．
解答：（1）证明：连结AC交BD于O，连接EO，
∵E、O分别为PA、AC的中点，∴EO∥PC．
∵PC?平面EBD，EO?平面EBD
∴PC∥平面EBD…（4分）
（2）证明：在正方形ABCD中，BC⊥CD，
又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC
又DC∩PD=D，DC，PD?面PCD，
∴BC⊥平面PCD，BC?平面PBC
∴平面PBC⊥平面PCD．…（8分）
（3）解：取AD中点F，
∵E是PA的中点，∴EF∥PD
∵PD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD
∴∠EBF是直线BE与平面ABCD所成角．
设PD=2，则
∵EF=PD，PD=AD，∴EF=1，BF=，
∴tan∠EBF===，即BE与平面ABCD所成角的正切值为．…（12分）
点评：本题考查线面平行，考查面面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行，面面垂直的判定方法是关键．