Question

若9^x-2•3^x+a＞0恒成立，则实数a的取值范围是

（1，+∞）

．

Answer 1

分析：将原不等式移项并在两边都除以3^x，得3^x+

a

3x

＞2．再根据a的正负讨论不等式左边对应式子，结合基本不等式求出它的最小值，即可得到若原不等式恒成立时实数a的取值范围．

解答：解：不等式9^x-2•3^x+a＞0，即9^x+a＞2•3^x，
两边都除以3^x得3^x+

a

3x

＞2
①当a≤0时，不等式不能恒成立
②当a＞0时，可得3^x+

a

3x

≥2

3x× a 3x

=2

a

∴若不等式3^x+

a

3x

＞2恒成立，则2

a

＞2，解之得a＞1
即不等式9^x-2•3^x+a＞0恒成立时，实数a的取值范围是（1，+∞）
故答案为：（1，+∞）

点评：本题给出含有字母的不等式恒成立，求参数a的取值范围．着重考查了不等式的性质、运用基本不等式求最值和函数最值的应用等知识点，属于中档题．