Question

命题P：函数y=（a²-4a）x为减函数；命题Q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根．若P和Q有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据一次函数的单调性与一次项系数的关系，可求出命题P为真时实数a的取值范围，根据二次方程根的个数与判别式的关系，可求出命题Q为真时实数a的取值范围，进而结合P和Q有且只有一个为真命题，分类讨论后，综合讨论结果可得答案．

解答：解：若函数y=（a²-4a）x为减函数
则a²-4a＜0
解得：0＜a＜4
即命题P为真时：0＜a＜4
若关于x的方程x²-x+a=0有实数根
则1-4a≥0
解得：a≤

1

4

即命题Q为真时：a≤

1

4

∵P和Q有且只有一个为真命题
当p真q假时，

1

4

＜a＜4
当p假q真时，a≤0
综上实数a的取值范围为（-∞，0]∪（

1

4

，4）

点评：本题以复合命题的真假判断为载体考查了函数的单调性及二次方程根的个数与判别式的关系，难度不大，属于基础题．