Question

已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.
（1）求实数的值；
（2）求在区间上的最大值；
（3）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.

Answer 1

（1）；( Ⅱ)详见解析；( Ⅲ)详见解析.

试题分析：（1）当x＜1时，f（x）=-x³+x²+bx+c，则f'（x）=-3x²+2x+b．依题意得：，由此能求出实数b，c的值．（2）由知，当-1≤x＜1时，，令f'（x）=0得，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况列表知f（x）在[-1，1）上的最大值为2．当1≤x≤2时，f（x）=alnx．当a≤0时，f（x）≤0，f（x）最大值为0；当a＞0时，f（x）在[1，2]上单调递增．当aln2≤2时，f（x）在区间[-1，2]上的最大值为2；当aln2＞2时，f（x）在区间[-1，2]上的最大值为aln2．（3）假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t³+t²），显然t≠1．由此入手能得到对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．
解：（1）当时，，则。
依题意得：，即   解得
（2）由（1）知，
①当时，，
令得或
当变化时，的变化情况如下表：

		0
	—	0	+	0	—
	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

 
又，，。∴在上的最大值为2.
②当时, .当时, ,最大值为0；
当时,在上单调递增。∴在最大值为。
综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；
当时，即时，在区间上的最大值为。
（3）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。
不妨设，则，显然
∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴
即   （*）
若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；
若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.
若，则代入（*）式得：
即，而此方程无解，因此。此时，
代入（*）式得：    即  （**）
令 ，则
∴在上单调递增， ∵    ∴,∴的取值范围是。
∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。
因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角
三角形，且此三角形斜边中点在轴上。