Question

己知椭圆的焦点在x轴上，它的一个焦点与抛物线x²=4y的焦点之间的距离为

5

，离心率e=

2 5

5

，过椭圆的左焦点厂做一条与坐标轴不垂直的直线L交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点M（m，0）是线段OF₁上的一个动点，且（

MA

+

MB

）⊥

AB

，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意设椭圆的右焦点（c，0 ），则由题意可得

c2+1

=

5

，求出c值，由离心率可得 a，求出b值，即得椭圆的标准方程．
（2）设直线l的方程为 y=k（x+2），代入椭圆的方程化简，把根与系数的关系代入（

MA

+

MB

）•

AB

=0，解得 m=-

8k2

1+5k2

=-

8

1 k2 +5

，再利用不等式的性质求出m的取值范围．

解答：解：（1）抛物线的焦点为（0，1），设椭圆的右焦点（c，0 ），则由题意可得

c2+1

=

5

，
∴c=2，∴再由离心率可得 a=

5

，b=1，故椭圆的标准方程为

x2

5

+y2=1．
（2）设直线l的方程为 y=k（x+2），代入椭圆的方程化简可得  （1+5k²）x²+20k²x-5=0，
∴x₁+x₂=

-20k2

1+5k2

，x₁•x₂=

-5

1+5k2

，
∴（

MA

+

MB

）=（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂ ）=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂ ）．
由（

MA

+

MB

）⊥

AB

，可得 （

MA

+

MB

）•

AB

=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂ ）•（x₂-x₁，y₂-y₁）
=（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₂+y₁）（y₂-y₁）=0，
化简可得 x₁+x₂-2m+k²（x₁+x₂+4）=0，∴2m=4k²-

20k2(k2+ 1)

1+5k2

，
∴m=-

8k2

1+5k2

=-

8

1 k2 +5

．∵k²＞0，∴0＜

8

1 k2 +5

＜

8

5

，
∴-

8

5

＜m＜0． 故m的取值范围是[-

8

5

，0）．

点评：本题考查求椭圆的标准方程，两个向量的数量积公式，不等式的性质，求出m=-

8k2

1+5k2

=-

8

1 k2 +5

，是解题的关键，
属于中档题．