Question

如图，在三棱锥P—ABC中，AB⊥BC，AB=BC=PA，点O、D分别为AC、PC的中点，OP⊥底面ABC.

（1）求证：OD∥平面PAB；

（2）求直线OD与平面PBC所成角的大小.

Answer 1

解析：（1）∵点O，D分别为AC，PC的中点，∴OD∥PA

∴OD∥平面PAB.

（2）连结OB，∵AB⊥BC，O为中点，AB=BC

∴BO⊥AC，又OP⊥底面ABC

∴OA，OB，OP两两垂直，故以O为原点，以，，分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.

令PA=2，则AB=BC=，故A（1，0，0），B（0，1，0），P（0，0，），

设面PBC的法向量为m=（x,y,z）

=（-1，-1，0），=（0，-1，）

∵m⊥，∴x+y=0,

∵m⊥,∴-y+z=0,

取z=-,则y=-7,x=7,

故m=(7,-7,-)，

而OD=（，0，），

∴cos(，m)===.

故而直线OD与平面PBC所成角的大小为arcsin.