Question

过抛物线y²=4x的焦点F引两条互相垂直的直线AB、CD交抛物线于A、B、C、D四点．
（1）求当|AB|+|CD|取最小值时直线AB、CD的倾斜角的大小
（2）求四边形ACBD的面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）考虑到过抛物线y²=4x的焦点F引两条互相垂直的直线AB、CD，利用抛物线的极坐标方程解决．先以F为极点，FX为极轴，建立极坐标系，写出抛物线的极坐标方程，利用极径表示出|AB|+|CD|，利用三角函数求解即得；
（2）利用极径结合三角形的面积公式表示出四边形ACBD的面积，利用三角函数的性质即可求解．

解答：解：（1）F为极点，FX为极轴，建立极坐标系，
则抛物线的极坐标方程可写为ρ=

2

1-cosθ

…3’
设A（ρ₁，θ），则B（ρ₂，π+θ）
∴|AB|=ρ1+ρ2=

2

1-cosθ

+

2

1-cos(π+θ)

=

4

sin2θ

…2’
同理|CD|=

4

sin2(θ+ π 2 )

=

4

cos2θ

…2’
∴|AB|+|CD|=

4

sin2θ

+

4

cos2θ

=

4

sin2θcos2θ

=

16

sin22θ

…2’
故当θ=

π

4

时，|AB|+|CD|取最小值16，此时AB、CD的倾斜角分别为

π

4

，

3π

4

．
（2）SABCD=

1

2

|AB|．|CD|=

8

sin2θcos2θ

=

32

sin22θ

…2’
易知：当θ=

π

4

时，（S_ABCD）_min=32
注：若以直角坐标系求解可同样给分…4’

点评：本题主要考查了抛物线的应用、简单曲线的极坐标方程，涉及了直线与抛物线的关系．属于基础题．