Question

已知直三棱柱中，△为等腰直角三角形，∠＝90°，且＝，、、分别为、、的中点．

⑴求异面直线与的夹角余弦值；

⑵求证：∥平面；

⑶求证：⊥平面.

Answer 1

解：(1)做FH//AC, cos∠B₁FH即所求，Rt△B₁FH中，cos∠B₁FH=

（2）方法i：设G是AB的中点，连结DG，

则DG平行且等于EC，       

所以四边形DECG是平行四边形，所以DE//GC，

从而DE∥平面ABC．   

     

方法ii：连接A₁B、A₁E，并延长A₁E交AC的延长线

于点P，连接BP．由E为C₁C的中点，A₁C₁∥CP，

可证A₁E＝EP，              

∵D、E是A₁B、A₁P的中点，∴DE∥BP，

又∵BP平面ABC，DE平面ABC，∴DE∥平面ABC

（3）∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点，

∴BC⊥AF，又∵B₁B⊥平面ABC，可证B₁F⊥AF，      

设＝，则

∴B₁F⊥EF，∴⊥平面；