Question

（2012•海淀区二模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），且点（-1，

2

2

）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得

QA

•

QB

=-

7

16

恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的定义求出a的值，进而可求b的值，即可得到椭圆的标准方程；
（2）先利用特殊位置，猜想点Q的坐标，再证明一般性也成立即可．

解答：解：（1）由题意，c=1
∵点（-1，

2

2

）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a=

(-1-1)2+( 2 2 )2

+

2

2

，∴a=

2

∴b²=a²-c²=1，
∴椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2=1；
（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得

QA

•

QB

=-

7

16

恒成立
当直线l的斜率为0时，A（

2

，0），B（-

2

，0），则(

2

-m，0)•(-

2

-m，0)=-

7

16

，∴m2=

25

16

，∴m=±

5

4

①
当直线l的斜率不存在时，A(1，

2

2

)，B(1，-

2

2

)，则(1-m，

2

2

)•(1-m，-

2

2

)=-

7

16

，∴(1-m)2=

1

16

∴m=

5

4

或m=

3

4

②
由①②可得m=

5

4

．
下面证明m=

5

4

时，

QA

•

QB

=-

7

16

恒成立
当直线l的斜率为0时，结论成立；
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直线方程代入椭圆方程，整理可得（t²+2）y²+2ty-1=0，∴y₁+y₂=-

2t

t2+2

，y₁y₂=-

1

t2+2

∴

QA

•

QB

=（x₁-

5

4

，y₁）•（x₂-

5

4

，y₂）=（ty₁-

1

4

）（ty₂-

1

4

）+y₁y₂=（t²+1）y₁y₂-

1

4

t（y₁+y₂）+

1

16

=

-2t2-2+t2

2(t2+2)

+

1

16

=-

7

16

综上，x轴上存在点Q（

5

4

，0），使得

QA

•

QB

=-

7

16

恒成立．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查存在性问题，解题的关键的先猜后证，有一定的难度．