Question

设f（x）=x³，等差数列{a_n}中a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，记=，令b_n=a_nS_n，数列的前n项和为T_n
（1）求{a_n}的通项公式和S_n；
（2）求证：；
（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（1）设数列的公差为，
由,.解得，=3 ，
∴
∵，   ∴Sn==.
（2）
∴  
∴
（3）由(2)知，  
  ∴，，
∵成等比数列.
∴       即
当时，7，=1，不合题意；
当时，，=16，符合题意；
当时，，无正整数解；
当时，，无正整数解；
当时，，无正整数解；
当时，，无正整数解；
当时， ，则，而，所以，此时不存在正整数m,n,且1<m<n,使得成等比数列.
综上，存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比数列.
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