Question

【题目】已知函数=，其中a>0,且a≠1

(1)判断的奇偶性，并证明你的结论;

(2)若关于的不等式≤||在[﹣1,1]上恒成立,求实数a的取值范围

Answer 1

【答案】(1)偶函数 (2)

【解析】

（1）函数f（x）是定义域R上的偶函数，用定义法证明即可；（2）由f（x）是R上的偶函数，问题等价于f（x）≤x在[0，1]上恒成立；讨论x=0和x≠0时，求出实数a的取值范围．

（1）函数f（x）=x（﹣）是定义域R上的偶函数，

证明如下：任取x∈R，则f（﹣x）=﹣x（﹣）=x（﹣），

∴f（x）﹣f（﹣x）=x（﹣）﹣x（﹣）=x（﹣1）=0，

∴f（﹣x）=f（x），f（x）是偶函数；

（2）由（1）知f（x）是R上的偶函数，∴不等式f（x）≤|x|在[﹣1，1]上恒成立，

等价于f（x）≤x在[0，1]上恒成立；显然，当x=0时，上述不等式恒成立；

当x≠0时，上述不等式可转化为﹣≤，∴ax≥在[0，1]上恒成立，

∴≤a＜1或a＞1，

∴求实数a的取值范围是[，1）∪（1，+∞）．