Question

P、Q、M、N四点都在中心为坐标原点，离心率e=

2

2

，左焦点F（-1，0）的椭圆上，已知

PF

 与 

FQ

 共线， 

MF

与

FN

 共线，

PF

•

MF

=0，求四边形PMQN的面积的最大值与最小值．

Answer 1

分析：先根据已知条件求出椭圆方程，再设PQ的方程为ky=x+1，联立椭圆方程以及弦长公式求出|PQ|的长，当k≠0时，同样的方法求出MN的长；直接代入对角线互相垂直的四边形的面积计算公式结合函数的单调性即可求出面积的取值范围； 当k=0时，面积为定值；综合即可得到结论．

解答：解：椭圆方程为

x2

2

+y2=1，
∵

PF

•

MF

=0，PQ⊥MN．
设PQ的方程为ky=x+1，代入椭圆方程消去x得（2+k²）y²-2ky-1=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₁，y₁），
则|PQ|=

1+k2

|y1-y2|=

1+k2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+k2

( 2k 2+k2 )2+4 1 2+k2

=

2 2 (1+k2)

2+k2

．
（Ⅰ）当k≠0时，MN的斜率为-

1

k

，同理可得|MN|=

2 2 (1+ 1 k2 )

2+ 1 k2

，
故四边形面积S=

1

2

|PQ||MN|=

4(2+k2+ 1 k2 )

5+2k2+ 2 k2

．
令u=k2+

1

k2

，则u≥2，即S=

4(2+u)

5+2u

=2(1-

1

5+2u

)
当k=±1时，u=2，S=

16

9

．且S是以u为自变量的增函数，
∴

16

9

≤S＜2．
（Ⅱ） 当k=0时，MN为椭圆的长轴，|MN|=2

2

，|PQ|=

2

，S=

1

2

|PQ||MN|=2
综合（Ⅰ） （Ⅱ）知，四边形PQMN面积的最大值为2，最小值为

16

9

．

点评：本题主要考查椭圆与直线的位置关系．在求直线与圆锥曲线的综合问题时，一般是联立直线与圆锥曲线方程，再结合韦达定理，弦长公式等来解题．