Question

【题目】已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x+2）2（x＞0）．
（1）若f（x）是（0，+∞）的单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）当 时，求证：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=ex+（x﹣2）ex+2ax+4a，

∵函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，∴f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．

∴ex+（x﹣2）ex+2ax+4a≥0，∴ ，

令 ， ，

∴ ，∴

（2）解：[f'（x）]′=xex+2a＞0，

∴y=f'（x）在（0，+∞）上单调递增又f'（0）=4a﹣1＜0，f'（1）=6a＞0，

∴存在t∈（0，1）使f'（t）=0

∴x∈（0，t）时，f'（x）＜0，x∈（t，+∞）时，f'（x）＞0，

当x=t时， 且有f'（t）=et（t﹣1）+2a（t+2）=0，

∴ ．

由（1）知 在t∈（0，+∞）上单调递减， ，且 ，

∴t∈（0，1）．

∴ ， ，

∴f（1）＜f（t）＜f（0），﹣e＜f（t）＜﹣1，

∴f（x）的最小值的取值范围是（﹣e，﹣1）

【解析】（1）求出函数的导数f'（x）=ex+（x﹣2）ex+2ax+4a，通过f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．得到 ，构造函数，利用导函数的单调性以及最值求解即可．（2）通过[f'（x）]′=xex+2a＞0，数码y=f'（x）在（0，+∞）上单调递增，利用零点判定定理说明存在t∈（0，1）使f'（t）=0，判断x=t， ，推出 ．即 在t∈（0，+∞）上单调递减，通过求解函数的最值，求解f（x）的最小值的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．