Question

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足 （g是常数，且（q＞0，q≠1）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）当 时，试证明 ；
（Ⅲ）设函数．f（x）=logqx，bn=f（a1）+f（a2）+…+f（an），使 对n∈N*？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（I ）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1= （an﹣1﹣1），∴ ，又由S1=a1= （a1﹣1）得a1=q，∴数列an是首项a1=q、公比为q的等比数列，∴an=qqn﹣1=qn
（II）
（III）bn=logqa1+logqa2+…+logqan=logq（a1a2…an）=
∴ ，∴ 即
∵n=1时， ，∴m≤3，∵m是正整数，∴m的值为1，2，3
【解析】（I ）由an=Sn﹣Sn﹣1= （an﹣1﹣1）知 ，由S1=a1= （a1﹣1）得a1=q，由此知an=qqn﹣1=qn ． （II）由于 ，故可证明 ；（III）bn=logqa1+logqa2+…+logqan=logq（a1a2…an）= 所以 由此能求出m的值．
【考点精析】利用等比数列的通项公式（及其变式）对题目进行判断即可得到答案，需要熟知通项公式：．