Question

已知函数f（x）=x²+bx（b∈R），g(x)=x+

a

x

(a∈R)，H(x)=

f(g(x))，f(x)≥g(x) g(f(x))，f(x)＜g(x).

（Ⅰ） 当a=b=1时，求H（x）；
（Ⅱ） 当a=1时，在x∈[2，+∞）上H（x）=f（g（x）），求b的取值范围；
（Ⅲ） 当a＞0时，方程f（g（x））+c=0，在（0，+∞）上有且只有一个实根，求证：b、c中至少有一个负数．

Answer 1

分析：（I）当a=b=1时，f（x）=x²+x，g(x)=x+

1

x

由f（x）≥g（x）可得，x≥1或x＜0；由f（x）＜g（x）可得0＜x≤1，代入可求
（II）当a=1时，x∈[2，+∞），H（x）=f[g（x）]可得当x≥2时，f（x）≥g（x）恒成立，即b≥-x+1+

1

x2

在x∈[2，+∞）恒成立，令h（x）=-x+1+

1

x2

，则容易得函数h（x）在[2，+∞）单调递减，则b≥h（x）_max可求
（III）利用反证法进行证明

解答：解：（I）当a=b=1时，f（x）=x²+x，g(x)=x+

1

x

由f（x）≥g（x）可得，x≥1或x＜0；由f（x）＜g（x）可得0＜x≤1
∵f[g(x)]=f(x+

1

x

)=(x+

1

x

)2+(x+

1

x

)
g[f（x）]=g（x²+x）=x2+x+

1

x2+x

∴H(X)=

(x+ 1 x )2+(x+ 1 x )，x≥1或x＜0 x2+x+ 1 x2+x ，0＜x≤1

（II）当a=1时，x∈[2，+∞），H（x）=f[g（x）]可得当x≥2时，f（x）≥g（x）恒成立
即x2+bx≥x+

1

x

在[2，+∞）恒成立
∴b≥-x+1+

1

x2

在x∈[2，+∞）恒成立
令h（x）=-x+1+

1

x2

，则容易得函数h（x）在[2，+∞）单调递减，则h（x）_max=h（2）=-

3

4

∴b≥-

3

4

（III）假设b≥0，c≥0，a＞0
由于g(x)=x+

a

x

在（0，

a

]单调递减，在[

a

， +∞)单调递增
∴g(x)≥g(

a

)=2

a

＞0
∵c+f(g(x))=(x+

a

x

)2+b(x+

a

x

)+c在[2

a

，+∞）单调递增
∴c+f[g(x)]≥f(2

a

)+c=4a+b

a

+c＞0在（0，+∞）恒成立与f[g（x）]+c=0有根矛盾
故假设错误即b，c至少有一个为非负数

点评：本题主要考查了函数解析式的求解，分段函数的应用，及理由函数的单调性求解函数的最值，还要注意函数的恒成立问题与最值之间的相互转化