Question

下面四个命题：
①若x=

1-y2

，则x+y的最小值为0．
②-

1

2

≤

x

x2+1

≤

1

2

（x∈R）．
③若x，y∈R⁺，则

x+y

1+x+y

≥

x

1+x

+

y

1+y

．
④

1

1×3

+

1

2×4

+…+

1

n(n+2)

＜

3

4

． 其中正确的命题是

C

．
A、①②B、②③C、②④D、③④

Answer 1

分析：对于①，令x=0，y=-1时，可得x+y=-1，故①不成立． 对于②，分x=0、x＞0、x＜0分别求出

x

x2+1

的范围，
再取并集可得故②正确．对于③，令x=2，y=3，代入式子检验可得③不正确．对于④，利用裂项求和可得
④正确．

解答：解：对于①，若x=

1-y2

，则x=0，y=-1时，x+y=-1，故①不成立．
对于②，由于x=0，

x

x2+1

=0；x＞0 时，

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

≤

1

2

；
x＜0时，

1

x+ 1 x

=-

1

-x+ 1 -x

≥-

1

2

，故有 -

1

2

≤

x

x2+1

≤

1

2

，故②正确．
对于③，令x=2，y=3，可得

x+y

1+x+y

=

5

6

，而

x

1+x

+

y

1+y

=

2

3

+

3

4

=

17

12

，故③不正确．
对于④，

1

1×3

+

1

2×4

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
＜

1

2

（1+

1

2

）=

3

4

，故④正确．
故选：C．

点评：本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，属于基础题．